3.1.6 Reglas de Inferencia.

•REGLAS DE INFERENCIA DEDUCTIVA

Inferir es concluir o decidir a partir de algo conocido o asumido; llegar a una conclusión. A su vez, razonar es pensar coherente y lógicamente; establecer inferencias o conclusiones a partir de hechos conocidos o asumidos.

•MODUS PONENS: Es la más importante, en los sistemas basados en conocimiento.

Establece que: Si las sentencias p y (p → q) se conocen que son verdaderas, entonces se puede inferir que q también es verdadera.

•MODUS TOLENS: Esta regla establece que: Si la sentencia (p→q) es verdadera y q es falsa, entonces se puede inferir que p también es falsa.

•RESOLUCIÓN: Utiliza refutación para comprobar una determinada sentencia. La refutación intenta crear una contradicción con la negación de la sentencia original, demostrando, por lo tanto, que la sentencia original es verdadera. La resolución es una técnica poderosa para probar teoremas en lógica y constituye la técnica básica de inferencia en PROLOG, un lenguaje que manipula en forma computacional la lógica de predicados. La regla de resolución, establece que: Si (A∨ B) es verdadero y (~B ∨ C) es verdadero, entonces (A ∨ C) también es verdadero.

ABDUCCION: Es un método de razonamiento comúnmente utilizado para generar explicaciones. A diferencia de la inducción, la abducción no garantiza que se puedan lograr conclusiones verdaderas, por lo tanto no es un método sólido de inferencia. La forma que tiene la abducción es la siguiente:
Si la sentencia (A → B) es verdadera y B es verdadera,
entonces A es posiblemente verdadera.

MPP Modus ponendo ponens
A → B
A
– – – – –      
B

MTT Modus tollendo tollens
A → B
¬B
– – – – –      
¬A

SD Silogismo Disyuntivo
A ∨ B
¬A
– – – – –      
¬B

SH Silogismo hipotético
A → B
B → C
– – – – –      
A → C

LS Ley de simplificación
A ∧ B
– – – – –      
A

LA Ley de adición
A
– – – – –      
A ∨ B

CONTRAPOSITIVA
A → B
– – – – –      
¬B → ¬A

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3.1.7 Argumentos Válidos y no Válidos.

Argumento: Conjunto de formulas para el razonamiento logico.

Argumento Valido: Un argumento es valido si se cumple:

  • Un argumento puede ser válido con premisas y conclusión verdaderas.

  • Pero también puede ser válido con premisas falsas y conclusión verdadera, o incluso con premisas y conclusión falsas.

Ejemplos de argumentos válidos:

  • Todos los hombres son mortales.

  • Sócrates es un hombre.

  • Por tanto, Sócrates es mortal.

⇩ ⇩ ⇩

  • Este líquido es un ácido o una base.

  • Si fuera un ácido, volvería rojo el papel tornasol.

  • Pero no ha vuelto rojo el papel tornasol.

  • Así que este líquido es una base.

⇩ ⇩ ⇩

  • Si está soleado, entonces es de día.

  • Está soleado.

  • Por lo tanto, es de día.

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3.1.8 Demostración Formal (Directa, por Contradicción).

 

Contradicción:

R & ¬ R ∴ R es inconsistente

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3.2 Lógica de Predicados.

•La lógica de predicados•

Se ocupa únicamente de métodos de argumentación sólidos. Tales argumentaciones se denominan Reglas de Inferencia.

Si se da un conjunto de axiomas que son aceptados como verdaderos, las reglas de inferencia garantizan que sólo serán derivadas consecuencias verdaderas.

Tanto los conectivos lógicos, como los operadores dados anteriormente para la lógica proposicional, son igualmente válidos en lógica de predicados. De hecho, la lógica proposicional es un subconjunto de la lógica de predicados.

Cada uno de los argumentos en los ejemplos de predicados dados anteriormente, representan a un objeto específico. Tales argumentos se denominan constantes. Sin embargo, en la lógica de predicados se pueden tener argumentos que en determinado momento pueden ser desconocidos. Estos son los argumentos tipo variable.

En el ejemplo:

  • color (yerba, X), la variable X, puede tomar el valor de verde, haciendo que el predicado sea verdadero; o puede tomar el valor de azul, dando lugar a que el predicado sea falso.

Las variables, también pueden ser cuantificadas. Los cuantificadores que típicamente se utilizan en lógica de predicados son:

  • El cuantificador universal; ” indica que la fórmula bien formada, dentro de su alcance, es verdadera para todos los valores posibles de la variable que es cuantificada. Por ejemplo:

” X . . . .

Establece que “para todo X, es verdad que . . . “

  • El cuantificador existencial;$ , indica que la fórmula bien formada, dentro de su alcance, es verdadera para algún valor o valores dentro del dominio. Por ejemplo:

$ X . . . .

Establece que “existe un X, tal que . . . “

  • A continuación se dan algunos ejemplos de predicados cuantificados:

” X, [niño (X) => le_gusta (X, helados)].

” Y, [mamífero (Y) => nace (Y, vivo)].

$ Z, [cartero(Z) ^ mordió (boby, Z)].

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3.2.1 Cuantificadores.

El cuantificador universal: indica que algo es cierto para todos los individuos.

  • Sea A una expresión y sea x una variable. Si deseamos indicar que A es verdadero para todos los posibles valores de x, escribiremos (∀x) A.

  • (∀x) es cuantificador universal.

  •  A es el ámbito (alcance) del cuantificador.

  •  El símbolo ∀ se lee “para todo”.

Ejemplo:

  • Todo el mundo tiene buena suerte de vez en cuando.

B ≡ “tener buena suerte de vez en cuando”
B(x) ≡ “x tiene buena suerte de vez en cuando”
∀ xB(x) en el conjunto de los seres humanos.

 

Cuantificador Existencial: Sea A una expresión y x una variable. Si deseamos indicar que A es verdadero para al menos un valor de la variable x, escribiremos ∃ xA.
∃ se denomina cuantificador existencial, y A es el ámbito o alcance del cuantificador existencial.

Ejemplo:

  • Hay una persona que ha irrumpido en el aula con malos modales.

B ≡ “irrumpir en el aula con malos modales”
B(x) ≡ “x irrumpe en el aula con malos modales”
∃xB(x) en el conjunto de los seres humanos.

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3.2.2 Representación y Evaluación de Predicados.

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3.3 Algebra Declarativa.

Lo que algunos llaman álgebra declarativa no es otra cosa que el álgebra proposicional, o sea, la estructura algebraica que se forma con expresiones utilizando los conectivos lógicos.

Empezaremos por definir formalmente cómo se construye una fórmula en lógica. Una expresión sintácticamente correcta se le llama fórmula bien formada (fbf) o simplemente fórmula y su definición es:

Una fórmula en lógica de proposiciones se obtiene al aplicar una ó más veces las siguientes reglas:

  • (B) si p es una proposición lógica, es una fbf.

  • (R) si F es una fórmula bien formada (fbf) también lo es (¬F).

  • (R) si p,q son fbf entonces también lo es (p*q) donde * es uno de los operadores binarios, ^ v → ↔.

En el cálculo proposicional existen algunas tautologías especialmente útiles cuya demostración se reduce a la confección de su correspondiente tabla de verdad, a saber:

  • Involución:

¬ (¬ p) ↔ p (se lee “no, no p, equivale a p”)

  • Idempotencia:

(p ^ ¬ p) ↔ p

(p v ¬ p) ↔ p

  • Conmutatividad:

a) de la disyunción: p v q ↔ q v p

b) de la conjunción: p ^ q ↔ q ^ p

  • Asociatividad:

a) de la disyunción: (p v q) v r ↔ p v (q v r)

b) de la conjunción: (p ^ q) ^ r ↔ p ^ (q ^ r)

  • Distributividad:

De la conjunción respecto de la disyunción: (p Ú q) Ù r ↔ (p Ù r) Ú (q Ù r)

De la disyunción respecto de la conjunción: (p Ù q) Ú r ↔ (p Ú r) Ú (q Ú r)

  • Leyes de De Morgan:

~ ( p Ú q ) ↔ ~ p Ù ~ q

“La negación de una disyunción equivale a la conjunción de las negaciones”

~ ( p Ù q ) ↔ ~ p Ú ~ q

“La negación de una conjunción equivale a la disyunción de las negaciones”

  • Negación de una Implicación:

Las proposiciones p Þ q y ~ (p Ù ~ q) son equivalentes, como vemos realizando la tabla de valores correspondientes:

Con esto, comprobamos que la negación de la primera equivale a la negación de la segunda, es decir:

  • ~ (p Þ q) Û ~{ ~(p Ù ~ q)}, y podemos concluir entonces que:

  • ~( p Þ q ) Û ( p Ù ~ q)

Es decir, la negación de una implicación no es una implicación sino la conjunción del antecedente con la negación del consecuente.

Ejemplo:

  • Sea la implicación p: hoy es viernes entonces mañana es domingo.

  • Su negación es ~ p: hoy es viernes y mañana no es domingo.

 

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